Решить 1000x^2-590x-561=0

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 1000x^{2}+ax+bx-561. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -561000 продукта.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -590.

$$a=-1100 b=510$$

Перепишите 1000x^{2}-590x-561 как \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Вынесите за скобки 100x в первой и 51 во второй группе.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Вынесите за скобки общий член 10x-11, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 10x-11=0 и 100x+51=0.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1000 вместо a, -590 вместо b и -561 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Возведите -590 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Умножьте -4 на 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Умножьте -4000 на -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Прибавьте 348100 к 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Извлеките квадратный корень из 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Число, противоположное -590, равно 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Умножьте 2 на 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Решите уравнение x=\frac{590±1610}{2000} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 590 к 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Привести дробь \frac{2200}{2000} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 200.

$$x=\frac{11}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{590±1610}{2000} при условии, что ± — минус. Вычтите 1610 из 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Привести дробь \frac{-1020}{2000} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 20.

$$x=-\frac{51}{100}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Прибавьте 561 к обеим частям уравнения.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Если из -561 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Вычтите -561 из 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Разделите обе части на 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Деление на 1000 аннулирует операцию умножения на 1000.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Привести дробь \frac{-590}{1000} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Разделите -\frac{59}{100}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{59}{200}. Затем добавьте квадрат -\frac{59}{200} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{59}{200} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Прибавьте \frac{561}{1000} к \frac{3481}{40000}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Разложите x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Упростите.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Прибавьте \frac{59}{200} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$