Решить 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1000 вместо a, 6125 вместо b и 125 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Возведите 6125 в квадрат.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Умножьте -4 на 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Умножьте -4000 на 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Прибавьте 37515625 к -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Извлеките квадратный корень из 37015625.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Умножьте 2 на 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Решите уравнение x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6125 к 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Разделите -6125+125\sqrt{2369} на 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000} при условии, что ± — минус. Вычтите 125\sqrt{2369} из -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Разделите -6125-125\sqrt{2369} на 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Вычтите 125 из обеих частей уравнения.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Если из 125 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Разделите обе части на 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Деление на 1000 аннулирует операцию умножения на 1000.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Привести дробь \frac{6125}{1000} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Привести дробь \frac{-125}{1000} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Деление \frac{49}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{49}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{49}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{49}{16} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Прибавьте -\frac{1}{8} к \frac{2401}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

Вычтите \frac{49}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$