Решить 10y^2+13y+4=0

$$10 y ^ { 2 } + 13 y + 4 = 0$$

Найдите y

$$y=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 10y^{2}+ay+by+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=10\times 4=40$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=5 b=8$$

Перепишите 10y^{2}+13y+4 как \left(10y^{2}+5y\right)+\left(8y+4\right).

$$\left(10y^{2}+5y\right)+\left(8y+4\right)$$

Разложите 5y в первом и 4 в второй группе.

$$5y\left(2y+1\right)+4\left(2y+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2y+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2y+1\right)\left(5y+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2y+1=0 и 5y+4=0у.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$10y^{2}+13y+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, 13 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 10\times 4}}{2\times 10}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 10\times 4}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-40\times 4}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на 4.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-160}}{2\times 10}$$

Прибавьте 169 к -160.

$$y=\frac{-13±\sqrt{9}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$y=\frac{-13±3}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$y=\frac{-13±3}{20}$$

Решите уравнение y=\frac{-13±3}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 3.

$$y=-\frac{10}{20}$$

Привести дробь \frac{-10}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Решите уравнение y=\frac{-13±3}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -13.

$$y=-\frac{16}{20}$$

Привести дробь \frac{-16}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$y=-\frac{4}{5}$$

Уравнение решено.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$10y^{2}+13y+4=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$10y^{2}+13y+4-4=-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$10y^{2}+13y=-4$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10y^{2}+13y}{10}=-\frac{4}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y=-\frac{4}{10}$$

Привести дробь \frac{-4}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y=-\frac{2}{5}$$

Деление \frac{13}{10}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{20}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{20} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\left(\frac{13}{20}\right)^{2}=-\frac{2}{5}+\left(\frac{13}{20}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{20} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}=-\frac{2}{5}+\frac{169}{400}$$

Прибавьте -\frac{2}{5} к \frac{169}{400}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}=\frac{9}{400}$$

Коэффициент y^{2}+\frac{13}{10}y+\frac{169}{400}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{13}{20}\right)^{2}=\frac{9}{400}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{400}}$$

Упростите.

$$y+\frac{13}{20}=\frac{3}{20} y+\frac{13}{20}=-\frac{3}{20}$$

Вычтите \frac{13}{20} из обеих частей уравнения.

$$y=-\frac{1}{2} y=-\frac{4}{5}$$