Решить 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 10x^{2}+ax+bx-12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-8 b=15$$

Перепишите 10x^{2}+7x-12 как \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-4=0 и 2x+3=0у.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, 7 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Прибавьте 49 к 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±23}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Привести дробь \frac{16}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±23}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Привести дробь \frac{-30}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Привести дробь \frac{12}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Деление \frac{7}{10}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{20}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{20} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{20} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Прибавьте \frac{6}{5} к \frac{49}{400}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Вычтите \frac{7}{20} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$