Решить 10x^2+67x-21=0

$$10 x ^ { 2 } + 67 x - 21 = 0$$

Найдите x

$$x=-7$$

$$x=\frac{3}{10}=0,3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 10x^{2}+ax+bx-21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=67 ab=10\left(-21\right)=-210$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -210.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 67.

$$a=-3 b=70$$

Перепишите 10x^{2}+67x-21 как \left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right).

$$\left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)$$

Разложите x в первом и 7 в второй группе.

$$x\left(10x-3\right)+7\left(10x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 10x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(10x-3\right)\left(x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 10x-3=0 и x+7=0у.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, 67 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Возведите 67 в квадрат.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-40\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на -21.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+840}}{2\times 10}$$

Прибавьте 4489 к 840.

$$x=\frac{-67±\sqrt{5329}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 5329.

$$x=\frac{-67±73}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$x=\frac{-67±73}{20}$$

Решите уравнение x=\frac{-67±73}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -67 к 73.

$$x=\frac{6}{20}$$

Привести дробь \frac{6}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{3}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-67±73}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 73 из -67.

$$x=-\frac{140}{20}$$

Разделите -140 на 20.

$$x=-7$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

Прибавьте 21 к обеим частям уравнения.

$$10x^{2}+67x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Если из -21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$10x^{2}+67x=-\left(-21\right)$$

Вычтите -21 из 0.

$$10x^{2}+67x=21$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10x^{2}+67x}{10}=\frac{21}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x=\frac{21}{10}$$

Деление \frac{67}{10}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{67}{20}. Затем добавьте квадрат \frac{67}{20} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{21}{10}+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}$$

Возведите \frac{67}{20} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{21}{10}+\frac{4489}{400}$$

Прибавьте \frac{21}{10} к \frac{4489}{400}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{5329}{400}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{5329}{400}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{400}}$$

Упростите.

$$x+\frac{67}{20}=\frac{73}{20} x+\frac{67}{20}=-\frac{73}{20}$$

Вычтите \frac{67}{20} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$