Решить 10x^2+32x-23=0

$$10 x ^ { 2 } + 32 x - 23 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx 0,604540769$$

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx -3,804540769$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, 32 вместо b и -23 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Возведите 32 в квадрат.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-40\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на -23.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+920}}{2\times 10}$$

Прибавьте 1024 к 920.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1944}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 1944.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -32 к 18\sqrt{6}.

$$x=\frac{18\sqrt{6}-32}{20}$$

Разделите -32+18\sqrt{6} на 20.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 18\sqrt{6} из -32.

$$x=\frac{-18\sqrt{6}-32}{20}$$

Разделите -32-18\sqrt{6} на 20.

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

Прибавьте 23 к обеим частям уравнения.

$$10x^{2}+32x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Если из -23 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$10x^{2}+32x=-\left(-23\right)$$

Вычтите -23 из 0.

$$10x^{2}+32x=23$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10x^{2}+32x}{10}=\frac{23}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$x^{2}+\frac{32}{10}x=\frac{23}{10}$$

Привести дробь \frac{32}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{23}{10}$$

Деление \frac{16}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{8}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{8}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{23}{10}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{8}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{23}{10}+\frac{64}{25}$$

Прибавьте \frac{23}{10} к \frac{64}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{243}{50}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{243}{50}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{243}{50}}$$

Упростите.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{9\sqrt{6}}{10} x+\frac{8}{5}=-\frac{9\sqrt{6}}{10}$$

Вычтите \frac{8}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$