Решить 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Найдите k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 10k^{2}+ak+bk-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$-1,10 -2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 9.

$$a=-1 b=10$$

Перепишите 10k^{2}+9k-1 как \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Вынесите за скобки k в 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Вынесите за скобки общий член 10k-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 10k-1=0 и k+1=0у.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 10 вместо a, 9 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -4 на 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Умножьте -40 на -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Прибавьте 81 к 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Умножьте 2 на 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Решите уравнение k=\frac{-9±11}{20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Привести дробь \frac{2}{20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Решите уравнение k=\frac{-9±11}{20} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Разделите -20 на 20.

$$k=-1$$

Уравнение решено.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Разделите обе части на 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Деление на 10 аннулирует операцию умножения на 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Деление \frac{9}{10}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{9}{20}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{20} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{20} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Прибавьте \frac{1}{10} к \frac{81}{400}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Коэффициент k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Упростите.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Вычтите \frac{9}{20} из обеих частей уравнения.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$