Решить 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Объедините 10x и 10x, чтобы получить 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Вычтите 11 из 8, чтобы получить -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -21 продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 20.

$$a=-1 b=21$$

Перепишите 7x^{2}+20x-3 как \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Вынесите за скобки x в первой и 3 во второй группе.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 7x-1=0 и x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Объедините 10x и 10x, чтобы получить 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Вычтите 11 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Вычтите 11 из 8, чтобы получить -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 20 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Прибавьте 400 к 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±22}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Привести дробь \frac{2}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±22}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 22 из -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Разделите -42 на 14.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 3x^{2} из обеих частей уравнения.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Объедините 10x^{2} и -3x^{2}, чтобы получить 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Объедините 10x и 10x, чтобы получить 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Вычтите 8 из 11, чтобы получить 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Разделите \frac{20}{7}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{10}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{10}{7} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{10}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Прибавьте \frac{3}{7} к \frac{100}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Разложите x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Упростите.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Вычтите \frac{10}{7} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$