Решить 1+6x-2x^2=-1

$$1+6x-2 { x }^{ 2 } =-1$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{13} + 3}{2} \approx 3,302775638$$

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\approx -0,302775638$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+6x+1=-1$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$-2x^{2}+6x+1-\left(-1\right)=-1-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+6x+1-\left(-1\right)=0$$

Вычтите -1 из 1.

$$-2x^{2}+6x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 6 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 2}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+16}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 36 к 16.

$$x=\frac{-6±\sqrt{52}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 52.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}-6}{-4}$$

Разделите -6+2\sqrt{13} на -4.

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{13} из -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{13}-6}{-4}$$

Разделите -6-2\sqrt{13} на -4.

$$x=\frac{\sqrt{13}+3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3-\sqrt{13}}{2} x=\frac{\sqrt{13}+3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x+1=-1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+6x+1-1=-1-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+6x=-1-1$$

Вычтите 1 из -1.

$$-2x^{2}+6x=-2$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{2}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{2}{-2}$$

Разделите 6 на -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{2}{-2}$$

Разделите -2 на -2.

$$x^{2}-3x=1$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 1 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{13}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$$