Решить 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Найдите t

$$t=1$$

$$t=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Разделите обе части на 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -t^{2}+at+bt-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=2 b=1$$

Перепишите -t^{2}+3t-2 как \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Вынесите за скобки -t в -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Вынесите за скобки общий член t-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-2=0 и -t+1=0у.

$$t=2 t=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 48 вместо b и -32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 48 в квадрат.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 2304 к -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Решите уравнение t=\frac{-48±16}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -48 к 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Разделите -32 на -32.

$$t=1$$

Решите уравнение t=\frac{-48±16}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Разделите -64 на -32.

$$t=2$$

Уравнение решено.

$$t=1 t=2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Прибавьте 32 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Разделите обе части на -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Деление на -16 аннулирует операцию умножения на -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Разделите 48 на -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Разделите 32 на -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -2 к \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Коэффициент t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$t=2 t=1$$