Решить -51t+49t^2=105

$$-51t+49 { t }^{ 2 } = 105$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{23181} + 51}{98} \approx 2,074011008$$

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}\approx -1,033194681$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$49t^{2}-51t=105$$

Вычтите 105 из обеих частей уравнения.

$$49t^{2}-51t-105=105-105$$

Если из 105 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$49t^{2}-51t-105=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 49 вместо a, -51 вместо b и -105 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{\left(-51\right)^{2}-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Возведите -51 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-4\times 49\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601-196\left(-105\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на -105.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{2601+20580}}{2\times 49}$$

Прибавьте 2601 к 20580.

$$t=\frac{-\left(-51\right)±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Число, противоположное -51, равно 51.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98}$$

Решите уравнение t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 51 к \sqrt{23181}.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98}$$

Решите уравнение t=\frac{51±\sqrt{23181}}{98} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{23181} из 51.

$$t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-51t=105$$

Разделите обе части на 49.

$$\frac{49t^{2}-51t}{49}=\frac{105}{49}$$

Деление на 49 аннулирует операцию умножения на 49.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{105}{49}$$

Привести дробь \frac{105}{49} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 7.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t=\frac{15}{7}$$

Деление -\frac{51}{49}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{51}{98}. Затем добавьте квадрат -\frac{51}{98} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{51}{98}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{51}{98} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{15}{7}+\frac{2601}{9604}$$

Прибавьте \frac{15}{7} к \frac{2601}{9604}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}=\frac{23181}{9604}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{51}{49}t+\frac{2601}{9604}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}=\frac{23181}{9604}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{51}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23181}{9604}}$$

Упростите.

$$t-\frac{51}{98}=\frac{\sqrt{23181}}{98} t-\frac{51}{98}=-\frac{\sqrt{23181}}{98}$$

Прибавьте \frac{51}{98} к обеим частям уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{23181}+51}{98} t=\frac{51-\sqrt{23181}}{98}$$