Решить -5x^2+200x+30000=3200

$$-5 { x }^{ 2 } +200x+30000=3200$$

Найдите x

$$x=24\sqrt{10}+20\approx 95.894663844$$

$$x=20-24\sqrt{10}\approx -55.894663844$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

Вычтите 3200 из обеих частей уравнения.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=3200-3200$$

Если из 3200 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=0$$

Вычтите 3200 из 30000.

$$-5x^{2}+200x+26800=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -5 вместо a, 200 вместо b и 26800 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Возведите 200 в квадрат.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте -4 на -5.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+20\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 20 на 26800.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+536000}}{2\left(-5\right)}$$

Прибавьте 40000 к 536000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 576000.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 2 на -5.

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}$$

Решите уравнение x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -200 к 240\sqrt{10}.

$$x=\frac{240\sqrt{10}-200}{-10}$$

Разделите -200+240\sqrt{10} на -10.

$$x=20-24\sqrt{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10} при условии, что ± — минус. Вычтите 240\sqrt{10} из -200.

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-200}{-10}$$

Разделите -200-240\sqrt{10} на -10.

$$x=24\sqrt{10}+20$$

Уравнение решено.

$$x=20-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+20$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

Вычтите 30000 из обеих частей уравнения.

$$-5x^{2}+200x+30000-30000=3200-30000$$

Если из 30000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-5x^{2}+200x=3200-30000$$

Вычтите 30000 из 3200.

$$-5x^{2}+200x=-26800$$

Разделите обе части на -5.

$$\frac{-5x^{2}+200x}{-5}=-\frac{26800}{-5}$$

Деление на -5 аннулирует операцию умножения на -5.

$$x^{2}+\frac{200}{-5}x=-\frac{26800}{-5}$$

Разделите 200 на -5.

$$x^{2}-40x=-\frac{26800}{-5}$$

Разделите -26800 на -5.

$$x^{2}-40x=5360$$

Разделите -40, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -20. Затем добавьте квадрат -20 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=5360+\left(-20\right)^{2}$$

Возведите -20 в квадрат.

$$x^{2}-40x+400=5360+400$$

Прибавьте 5360 к 400.

$$x^{2}-40x+400=5760$$

Разложите x^{2}-40x+400 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-20\right)^{2}=5760$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

Упростите.

$$x-20=24\sqrt{10} x-20=-24\sqrt{10}$$

Прибавьте 20 к обеим частям уравнения.

$$x=24\sqrt{10}+20 x=20-24\sqrt{10}$$