Решить -49x^2+307x+248=0

$$-49 { x }^{ 2 } +307x+248=0$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{15873} + 307}{98} \approx 6,98943147$$

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}\approx -0,724125347$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -49 вместо a, 307 вместо b и 248 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-307±\sqrt{307^{2}-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Возведите 307 в квадрат.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249-4\left(-49\right)\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте -4 на -49.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+196\times 248}}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте 196 на 248.

$$x=\frac{-307±\sqrt{94249+48608}}{2\left(-49\right)}$$

Прибавьте 94249 к 48608.

$$x=\frac{-307±\sqrt{142857}}{2\left(-49\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 142857.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{2\left(-49\right)}$$

Умножьте 2 на -49.

$$x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98}$$

Решите уравнение x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -307 к 3\sqrt{15873}.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Разделите -307+3\sqrt{15873} на -98.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$

Решите уравнение x=\frac{-307±3\sqrt{15873}}{-98} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{15873} из -307.

$$x=\frac{-3\sqrt{15873}-307}{-98}$$

Разделите -307-3\sqrt{15873} на -98.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98} x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+307x+248=0$$

Вычтите 248 из обеих частей уравнения.

$$-49x^{2}+307x+248-248=-248$$

Если из 248 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-49x^{2}+307x=-248$$

Разделите обе части на -49.

$$\frac{-49x^{2}+307x}{-49}=-\frac{248}{-49}$$

Деление на -49 аннулирует операцию умножения на -49.

$$x^{2}+\frac{307}{-49}x=-\frac{248}{-49}$$

Разделите 307 на -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=-\frac{248}{-49}$$

Разделите -248 на -49.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x=\frac{248}{49}$$

Деление -\frac{307}{49}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{307}{98}. Затем добавьте квадрат -\frac{307}{98} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{248}{49}+\left(-\frac{307}{98}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{307}{98} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{248}{49}+\frac{94249}{9604}$$

Прибавьте \frac{248}{49} к \frac{94249}{9604}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}=\frac{142857}{9604}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{307}{49}x+\frac{94249}{9604}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}=\frac{142857}{9604}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{307}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{142857}{9604}}$$

Упростите.

$$x-\frac{307}{98}=\frac{3\sqrt{15873}}{98} x-\frac{307}{98}=-\frac{3\sqrt{15873}}{98}$$

Прибавьте \frac{307}{98} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{15873}+307}{98} x=\frac{307-3\sqrt{15873}}{98}$$