Решить -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 20 вместо b и -47 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 20 в квадрат.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 400 к -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -20 к 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Разделите -20+4i\sqrt{22} на -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{22} из -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Разделите -20-4i\sqrt{22} на -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Прибавьте 47 к обеим частям уравнения.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Если из -47 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Вычтите -47 из 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Разделите обе части на -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Деление на -4 аннулирует операцию умножения на -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Разделите 20 на -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Разделите 47 на -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Прибавьте -\frac{47}{4} к \frac{25}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$