Решить -2x^2+360x-13000=3000

$$-2 { x }^{ 2 } +360x-13000=3000$$

Найдите x

$$x=80$$

$$x=100$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+360x-13000=3000$$

Вычтите 3000 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+360x-13000-3000=3000-3000$$

Если из 3000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+360x-13000-3000=0$$

Вычтите 3000 из -13000.

$$-2x^{2}+360x-16000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 360 вместо b и -16000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-360±\sqrt{360^{2}-4\left(-2\right)\left(-16000\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 360 в квадрат.

$$x=\frac{-360±\sqrt{129600-4\left(-2\right)\left(-16000\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-360±\sqrt{129600+8\left(-16000\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -16000.

$$x=\frac{-360±\sqrt{129600-128000}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 129600 к -128000.

$$x=\frac{-360±\sqrt{1600}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1600.

$$x=\frac{-360±40}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-360±40}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-360±40}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -360 к 40.

$$x=-\frac{320}{-4}$$

Разделите -320 на -4.

$$x=80$$

Решите уравнение x=\frac{-360±40}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 40 из -360.

$$x=-\frac{400}{-4}$$

Разделите -400 на -4.

$$x=100$$

Уравнение решено.

$$x=80 x=100$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+360x-13000=3000$$

Прибавьте 13000 к обеим частям уравнения.

$$-2x^{2}+360x-13000-\left(-13000\right)=3000-\left(-13000\right)$$

Если из -13000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+360x=3000-\left(-13000\right)$$

Вычтите -13000 из 3000.

$$-2x^{2}+360x=16000$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+360x}{-2}=\frac{16000}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{360}{-2}x=\frac{16000}{-2}$$

Разделите 360 на -2.

$$x^{2}-180x=\frac{16000}{-2}$$

Разделите 16000 на -2.

$$x^{2}-180x=-8000$$

Деление -180, коэффициент x термина, 2 для получения -90. Затем добавьте квадрат -90 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-180x+\left(-90\right)^{2}=-8000+\left(-90\right)^{2}$$

Возведите -90 в квадрат.

$$x^{2}-180x+8100=-8000+8100$$

Прибавьте -8000 к 8100.

$$x^{2}-180x+8100=100$$

Коэффициент x^{2}-180x+8100. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-90\right)^{2}=100$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-90\right)^{2}}=\sqrt{100}$$

Упростите.

$$x-90=10 x-90=-10$$

Прибавьте 90 к обеим частям уравнения.

$$x=100 x=80$$