Решить -16x^2-4x+382=0

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, -4 вместо b и 382 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на 382.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 16 к 24448.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 24464.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 4\sqrt{1529}.

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

Разделите 4+4\sqrt{1529} на -32.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

Решите уравнение x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{1529} из 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

Разделите 4-4\sqrt{1529} на -32.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

Вычтите 382 из обеих частей уравнения.

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

Если из 382 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-16x^{2}-4x=-382$$

Разделите обе части на -16.

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

Деление на -16 аннулирует операцию умножения на -16.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

Привести дробь \frac{-4}{-16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

Привести дробь \frac{-382}{-16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

Разделите \frac{1}{4}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{8} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

Прибавьте \frac{191}{8} к \frac{1}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

Разложите x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

Вычтите \frac{1}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$