Решить -16x^2+80x+32=0

$$-16 { x }^{ 2 } +80x+32=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{33} + 5}{2} \approx 5,372281323$$

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}\approx -0,372281323$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16x^{2}+80x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 80 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\left(-16\right)\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 80 в квадрат.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\left(-16\right)\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+64\times 32}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на 32.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+2048}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 6400 к 2048.

$$x=\frac{-80±\sqrt{8448}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 8448.

$$x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32}$$

Решите уравнение x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -80 к 16\sqrt{33}.

$$x=\frac{16\sqrt{33}-80}{-32}$$

Разделите -80+16\sqrt{33} на -32.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-80±16\sqrt{33}}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 16\sqrt{33} из -80.

$$x=\frac{-16\sqrt{33}-80}{-32}$$

Разделите -80-16\sqrt{33} на -32.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5-\sqrt{33}}{2} x=\frac{\sqrt{33}+5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}+80x+32=0$$

Вычтите 32 из обеих частей уравнения.

$$-16x^{2}+80x+32-32=-32$$

Если из 32 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-16x^{2}+80x=-32$$

Разделите обе части на -16.

$$\frac{-16x^{2}+80x}{-16}=-\frac{32}{-16}$$

Деление на -16 аннулирует операцию умножения на -16.

$$x^{2}+\frac{80}{-16}x=-\frac{32}{-16}$$

Разделите 80 на -16.

$$x^{2}-5x=-\frac{32}{-16}$$

Разделите -32 на -16.

$$x^{2}-5x=2$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 2 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{33}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$$