Решить -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -144 вместо a, 9 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Умножьте -4 на -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Умножьте 576 на -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Прибавьте 81 к -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -5103.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Умножьте 2 на -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Разделите -9+27i\sqrt{7} на -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} при условии, что ± — минус. Вычтите 27i\sqrt{7} из -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Разделите -9-27i\sqrt{7} на -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Разделите обе части на -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Деление на -144 аннулирует операцию умножения на -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Привести дробь \frac{9}{-144} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Привести дробь \frac{9}{-144} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Деление -\frac{1}{16}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{32}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{32} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{32} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Прибавьте -\frac{1}{16} к \frac{1}{1024}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Прибавьте \frac{1}{32} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$