Решить -x^2+90x-75=20

$$- x ^ { 2 } + 90 x - 75 = 20$$

Найдите x

$$x=\sqrt{1930}+45\approx 88,931765273$$

$$x=45-\sqrt{1930}\approx 1,068234727$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+90x-75-20=20-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+90x-75-20=0$$

Вычтите 20 из -75.

$$-x^{2}+90x-95=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 90 вместо b и -95 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 90 в квадрат.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-1\right)\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100+4\left(-95\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -95.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-380}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 8100 к -380.

$$x=\frac{-90±\sqrt{7720}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 7720.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -90 к 2\sqrt{1930}.

$$x=\frac{2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Разделите -90+2\sqrt{1930} на -2.

$$x=45-\sqrt{1930}$$

Решите уравнение x=\frac{-90±2\sqrt{1930}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{1930} из -90.

$$x=\frac{-2\sqrt{1930}-90}{-2}$$

Разделите -90-2\sqrt{1930} на -2.

$$x=\sqrt{1930}+45$$

Уравнение решено.

$$x=45-\sqrt{1930} x=\sqrt{1930}+45$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+90x-75=20$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$-x^{2}+90x-75-\left(-75\right)=20-\left(-75\right)$$

Если из -75 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+90x=20-\left(-75\right)$$

Вычтите -75 из 20.

$$-x^{2}+90x=95$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+90x}{-1}=\frac{95}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{90}{-1}x=\frac{95}{-1}$$

Разделите 90 на -1.

$$x^{2}-90x=\frac{95}{-1}$$

Разделите 95 на -1.

$$x^{2}-90x=-95$$

Деление -90, коэффициент x термина, 2 для получения -45. Затем добавьте квадрат -45 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-95+\left(-45\right)^{2}$$

Возведите -45 в квадрат.

$$x^{2}-90x+2025=-95+2025$$

Прибавьте -95 к 2025.

$$x^{2}-90x+2025=1930$$

Коэффициент x^{2}-90x+2025. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=1930$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{1930}$$

Упростите.

$$x-45=\sqrt{1930} x-45=-\sqrt{1930}$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{1930}+45 x=45-\sqrt{1930}$$