Решить -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Найдите x

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 8 вместо b и 47 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 64 к 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 252.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Разделите -8+6\sqrt{7} на -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{7} из -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Разделите -8-6\sqrt{7} на -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Уравнение решено.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Вычтите 47 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Если из 47 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Разделите 8 на -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Разделите -47 на -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Деление -8, коэффициент x термина, 2 для получения -4. Затем добавьте квадрат -4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Прибавьте 47 к 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Коэффициент x^{2}-8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Упростите.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$