Решить -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Найдите x

$$x=2$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-10. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b положительное, a и b являются положительными. Перечислите все такие пары, содержащие 10 продукта.

$$1,10 2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+10=11 2+5=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=5 b=2$$

Перепишите -x^{2}+7x-10 как \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Вынесите за скобки -x в первой и 2 во второй группе.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 7 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 49 к -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±3}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Разделите -4 на -2.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{-7±3}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3 из -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Разделите -10 на -2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Разделите 7 на -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Разделите 10 на -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Разделите -7, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{7}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Прибавьте -10 к \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Разложите x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Прибавьте \frac{7}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=2$$