Решить -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -15.

$$-1,15 -3,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=5 b=-3$$

Перепишите -x^{2}+2x+15 как \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Разложите -x в первом и -3 в второй группе.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и -x-3=0у.

$$x=5 x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 2 вместо b и 15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 4 к 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Разделите 6 на -2.

$$x=-3$$

Решите уравнение x=\frac{-2±8}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 8 из -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Разделите -10 на -2.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=-3 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Если из 15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Разделите 2 на -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Разделите -15 на -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Прибавьте 15 к 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-3$$