Решить -x^2+14x=-11

$$- x ^ { 2 } + 14 x = - 11$$

Найдите x

$$x=2\sqrt{15}+7\approx 14,745966692$$

$$x=7-2\sqrt{15}\approx -0,745966692$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Прибавьте 11 к обеим частям уравнения.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=-11-\left(-11\right)$$

Если из -11 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=0$$

Вычтите -11 из 0.

$$-x^{2}+14x+11=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 14 вместо b и 11 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 11.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+44}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 196 к 44.

$$x=\frac{-14±\sqrt{240}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 240.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Разделите -14+4\sqrt{15} на -2.

$$x=7-2\sqrt{15}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{15} из -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Разделите -14-4\sqrt{15} на -2.

$$x=2\sqrt{15}+7$$

Уравнение решено.

$$x=7-2\sqrt{15} x=2\sqrt{15}+7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Разделите 14 на -1.

$$x^{2}-14x=-\frac{11}{-1}$$

Разделите -11 на -1.

$$x^{2}-14x=11$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=11+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=11+49$$

Прибавьте 11 к 49.

$$x^{2}-14x+49=60$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=60$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{60}$$

Упростите.

$$x-7=2\sqrt{15} x-7=-2\sqrt{15}$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=2\sqrt{15}+7 x=7-2\sqrt{15}$$