Решить -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, 18 вместо b и 68 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите 18 в квадрат.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 324 к 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -18 к 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Разделите -18+6\sqrt{77} на -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Решите уравнение x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{77} из -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Разделите -18-6\sqrt{77} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Вычтите 68 из обеих частей уравнения.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Если из 68 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Разделите 18 на -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Разделите -68 на -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Прибавьте \frac{68}{9} к 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Упростите.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$