Решить -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -3x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=3 b=1$$

Перепишите -3x^{2}+4x-1 как \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Разложите 3x в первом и -1 в второй группе.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+1=0 и 3x-1=0у.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, 12 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 144 к -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±6}{-18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -12 к 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Привести дробь \frac{-6}{-18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±6}{-18} при условии, что ± — минус. Вычтите 6 из -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Разделите -18 на -18.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Привести дробь \frac{12}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Привести дробь \frac{3}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{3} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$