Решить -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Вычтите -3 из 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -5 вместо a, 9 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте -4 на -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 20 на 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Прибавьте 81 к 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Умножьте 2 на -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Разделите -9+\sqrt{141} на -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{141} из -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Разделите -9-\sqrt{141} на -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Разделите обе части на -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Деление на -5 аннулирует операцию умножения на -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Разделите 9 на -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Разделите -3 на -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Деление -\frac{9}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Прибавьте \frac{3}{5} к \frac{81}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Прибавьте \frac{9}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$