Решить -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Найдите b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 22 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 22 в квадрат.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 484 к -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Решите уравнение b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -22 к 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Разделите -22+2\sqrt{105} на -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Решите уравнение b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{105} из -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Разделите -22-2\sqrt{105} на -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Уравнение решено.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Разделите обе части на -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Деление на -4 аннулирует операцию умножения на -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Привести дробь \frac{22}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Разделите 4 на -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Разделите -\frac{11}{2}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{11}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{4} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Прибавьте -1 к \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Разложите b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Упростите.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Прибавьте \frac{11}{4} к обеим частям уравнения.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$