Решить -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, -24 вместо b и -51 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 576 к -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -36.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Число, противоположное -24, равно 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{24±6i}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 24 к 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Разделите 24+6i на -6.

$$x=-4-i$$

Решите уравнение x=\frac{24±6i}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 6i из 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Разделите 24-6i на -6.

$$x=-4+i$$

Уравнение решено.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Прибавьте 51 к обеим частям уравнения.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Если из -51 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Вычтите -51 из 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Разделите -24 на -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Разделите 51 на -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Деление 8, коэффициент x термина, 2 для получения 4. Затем добавьте квадрат 4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Прибавьте -17 к 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Коэффициент x^{2}+8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Упростите.

$$x+4=i x+4=-i$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$x=-4+i x=-4-i$$