Решить -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=13$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-52. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 17.

$$a=13 b=4$$

Перепишите -x^{2}+17x-52 как \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Разложите -x в первом и 4 в второй группе.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-13=0 и -x+4=0у.

$$x=13 x=4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -3 вместо a, 51 вместо b и -156 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Возведите 51 в квадрат.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте -4 на -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 12 на -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Прибавьте 2601 к -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Умножьте 2 на -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Решите уравнение x=\frac{-51±27}{-6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -51 к 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Разделите -24 на -6.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-51±27}{-6} при условии, что ± — минус. Вычтите 27 из -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Разделите -78 на -6.

$$x=13$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=13$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Прибавьте 156 к обеим частям уравнения.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Если из -156 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Вычтите -156 из 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Разделите обе части на -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Деление на -3 аннулирует операцию умножения на -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Разделите 51 на -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Разделите 156 на -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Деление -17, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{17}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{17}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{17}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Прибавьте -52 к \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Коэффициент x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=13 x=4$$