Решить -2z^2+z-105=0

$$- 2 z ^ { 2 } + z - 105 = 0$$

Найдите z

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}\approx 0,25-7,241374179i$$

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}\approx 0,25+7,241374179i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2z^{2}+z-105=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 1 вместо b и -105 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-105\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -105.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-840}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 1 к -840.

$$z=\frac{-1±\sqrt{-839}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -839.

$$z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4}$$

Решите уравнение z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к i\sqrt{839}.

$$z=\frac{-1+\sqrt{839}i}{-4}$$

Разделите -1+i\sqrt{839} на -4.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}$$

Решите уравнение z=\frac{-1±\sqrt{839}i}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{839} из -1.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i-1}{-4}$$

Разделите -1-i\sqrt{839} на -4.

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4} z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2z^{2}+z-105=0$$

Прибавьте 105 к обеим частям уравнения.

$$-2z^{2}+z-105-\left(-105\right)=-\left(-105\right)$$

Если из -105 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2z^{2}+z=-\left(-105\right)$$

Вычтите -105 из 0.

$$-2z^{2}+z=105$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2z^{2}+z}{-2}=\frac{105}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$z^{2}+\frac{1}{-2}z=\frac{105}{-2}$$

Разделите 1 на -2.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z=\frac{105}{-2}$$

Разделите 105 на -2.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z=-\frac{105}{2}$$

Деление -\frac{1}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{105}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{105}{2}+\frac{1}{16}$$

Прибавьте -\frac{105}{2} к \frac{1}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}=-\frac{839}{16}$$

Коэффициент z^{2}-\frac{1}{2}z+\frac{1}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{839}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{839}{16}}$$

Упростите.

$$z-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{839}i}{4} z-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{839}i}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{4} к обеим частям уравнения.

$$z=\frac{1+\sqrt{839}i}{4} z=\frac{-\sqrt{839}i+1}{4}$$