Решить -2x^2+8x-3geq0

$$- 2 x ^ { 2 } + 8 x - 3 \geq 0$$

Решение для x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Умножьте неравенство на -1, чтобы коэффициент при наивысшей степени в -2x^{2}+8x-3 был положительным. Так как -1 является отрицательным, направление неравенства изменяется.

$$2x^{2}-8x+3\leq 0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-8x+3=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 2, b на -8 и c на 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

Решение x=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{\sqrt{10}}{2}+2 x=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\right)\leq 0$$

Для какого продукта ≤0, x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right), и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right) должен быть ≥0, а другой — ≤0. Рассмотрите случай, когда x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите случай, когда x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0 и x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)\leq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left[-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{2}+2,\frac{\sqrt{10}}{2}+2\end{bmatrix}$$