Решить -2x^2+6x+16=-4

$$- 2 x ^ { 2 } + 6 x + 16 = - 4$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Прибавьте 4 к обеим частям.

$$-2x^{2}+6x+16+4=0$$

Чтобы вычислить 20, сложите 16 и 4.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Разделите обе части на 2.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+10. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$-1,10 -2,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=5 b=-2$$

Перепишите -x^{2}+3x+10 как \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Разложите -x в первом и -2 в второй группе.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и -x-2=0у.

$$x=5 x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=0$$

Вычтите -4 из 16.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 6 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 36 к 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±14}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Разделите 8 на -4.

$$x=-2$$

Решите уравнение x=\frac{-6±14}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из -6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Разделите -20 на -4.

$$x=5$$

Уравнение решено.

$$x=-2 x=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+6x+16-16=-4-16$$

Если из 16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+6x=-4-16$$

Вычтите 16 из -4.

$$-2x^{2}+6x=-20$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{20}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{20}{-2}$$

Разделите 6 на -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{20}{-2}$$

Разделите -20 на -2.

$$x^{2}-3x=10$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 10 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Коэффициент x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=-2$$