Решить -2x^2+47x+5=275

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

Найдите x

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 275 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Вычтите 275 из 5, чтобы получить -270.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -2x^{2}+ax+bx-270. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 540.

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 47.

$$a=27 b=20$$

Перепишите -2x^{2}+47x-270 как \left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right).

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

Разложите -x в первом и 10 в второй группе.

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-27, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-27=0 и -x+10=0у.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Вычтите 275 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

Если из 275 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

Вычтите 275 из 5.

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 47 вместо b и -270 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 47 в квадрат.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на -270.

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 2209 к -2160.

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-47±7}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -47 к 7.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Разделите -40 на -4.

$$x=10$$

Решите уравнение x=\frac{-47±7}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -47.

$$x=-\frac{54}{-4}$$

Привести дробь \frac{-54}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{27}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

Вычтите 5 из 275.

$$-2x^{2}+47x=270$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

Разделите 47 на -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

Разделите 270 на -2.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

Деление -\frac{47}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{47}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{47}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{47}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

Прибавьте -135 к \frac{2209}{16}.

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

Прибавьте \frac{47}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{27}{2} x=10$$