Решить -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Найдите x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -2x^{2}+ax+bx+24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=16 b=-3$$

Перепишите -2x^{2}+13x+24 как \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+8, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+8=0 и 2x+3=0у.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -2 вместо a, 13 вместо b и 24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте -4 на -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 8 на 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Прибавьте 169 к 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Умножьте 2 на -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±19}{-4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Привести дробь \frac{6}{-4} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±19}{-4} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Разделите -32 на -4.

$$x=8$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Если из 24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Разделите обе части на -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Деление на -2 аннулирует операцию умножения на -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Разделите 13 на -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Разделите -24 на -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Деление -\frac{13}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{13}{4}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Прибавьте 12 к \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Прибавьте \frac{13}{4} к обеим частям уравнения.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$