Решить -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Решение для x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Умножьте неравенство на -1, чтобы коэффициент при наивысшей степени в -2x^{2}+12x-14 был положительным. Так как -1 является отрицательным, направление неравенства изменяется.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 2, b на -12 и c на 14.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Решение x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\left(\sqrt{2}+3\right) и x-\left(3-\sqrt{2}\right) должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\left(\sqrt{2}+3\right) положительное и x-\left(3-\sqrt{2}\right) отрицательно.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\left(3-\sqrt{2}\right) положительное и x-\left(\sqrt{2}+3\right) отрицательно.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$