Решить -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Разложить на множители

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Действия по решению

Вынесите 4 за скобки.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Учтите -4t^{2}+24t-27. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: -4t^{2}+at+bt-27. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 24.

$$a=18 b=6$$

Перепишите -4t^{2}+24t-27 как \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Разложите -2t в первом и 3 в второй группе.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2t-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 96 в квадрат.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 9216 к -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Решите уравнение t=\frac{-96±48}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -96 к 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Привести дробь \frac{-48}{-32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение t=\frac{-96±48}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 48 из -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Привести дробь \frac{-144}{-32} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{2} вместо x_{1} и \frac{9}{2} вместо x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Вычтите \frac{3}{2} из t. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Вычтите \frac{9}{2} из t. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Умножьте \frac{-2t+3}{-2} на \frac{-2t+9}{-2}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Умножьте -2 на -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Сократите наибольший общий делитель 4 в -16 и 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Вычислить

$$-16t^{2}+96t-108$$