Решить -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5,95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0,20974067$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 92 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 92 в квадрат.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 8464 к 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 9744.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Решите уравнение t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -92 к 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Разделите -92+4\sqrt{609} на -32.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Решите уравнение t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{609} из -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Разделите -92-4\sqrt{609} на -32.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

Если из 20 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Разделите обе части на -16.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

Деление на -16 аннулирует операцию умножения на -16.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Привести дробь \frac{92}{-16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Привести дробь \frac{-20}{-16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Деление -\frac{23}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{23}{8}. Затем добавьте квадрат -\frac{23}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{23}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Прибавьте \frac{5}{4} к \frac{529}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Упростите.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Прибавьте \frac{23}{8} к обеим частям уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$