Решить -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Найдите t

$$t=1$$

$$t=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 128 из обеих частей уравнения.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Вычтите 128 из 80, чтобы получить -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Разделите обе части на 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -t^{2}+at+bt-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=3 b=1$$

Перепишите -t^{2}+4t-3 как \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Вынесите за скобки -t в -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Вынесите за скобки общий член t-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-3=0 и -t+1=0у.

$$t=3 t=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Вычтите 128 из обеих частей уравнения.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Если из 128 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Вычтите 128 из 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -16 вместо a, 64 вместо b и -48 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Возведите 64 в квадрат.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте -4 на -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 64 на -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Прибавьте 4096 к -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Умножьте 2 на -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Решите уравнение t=\frac{-64±32}{-32} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -64 к 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Разделите -32 на -32.

$$t=1$$

Решите уравнение t=\frac{-64±32}{-32} при условии, что ± — минус. Вычтите 32 из -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Разделите -96 на -32.

$$t=3$$

Уравнение решено.

$$t=1 t=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Вычтите 80 из обеих частей уравнения.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Если из 80 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Вычтите 80 из 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Разделите обе части на -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Деление на -16 аннулирует операцию умножения на -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Разделите 64 на -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Разделите 48 на -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Прибавьте -3 к 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Коэффициент t^{2}-4t+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$t=3 t=1$$