Решить -15t^2-9t+45=0

$$- 15 t ^ { 2 } - 9 t + 45 = 0$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{309} - 3}{10} \approx 1,457839583$$

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}\approx -2,057839583$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-15t^{2}-9t+45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -15 вместо a, -9 вместо b и 45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-15\right)\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-15\right)\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Умножьте -4 на -15.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+60\times 45}}{2\left(-15\right)}$$

Умножьте 60 на 45.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+2700}}{2\left(-15\right)}$$

Прибавьте 81 к 2700.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{2781}}{2\left(-15\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 2781.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3\sqrt{309}}{2\left(-15\right)}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$t=\frac{9±3\sqrt{309}}{2\left(-15\right)}$$

Умножьте 2 на -15.

$$t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30}$$

Решите уравнение t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 3\sqrt{309}.

$$t=\frac{3\sqrt{309}+9}{-30}$$

Разделите 9+3\sqrt{309} на -30.

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}$$

Решите уравнение t=\frac{9±3\sqrt{309}}{-30} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{309} из 9.

$$t=\frac{9-3\sqrt{309}}{-30}$$

Разделите 9-3\sqrt{309} на -30.

$$t=\frac{\sqrt{309}-3}{10}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10} t=\frac{\sqrt{309}-3}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-15t^{2}-9t+45=0$$

Вычтите 45 из обеих частей уравнения.

$$-15t^{2}-9t+45-45=-45$$

Если из 45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-15t^{2}-9t=-45$$

Разделите обе части на -15.

$$\frac{-15t^{2}-9t}{-15}=-\frac{45}{-15}$$

Деление на -15 аннулирует операцию умножения на -15.

$$t^{2}+\left(-\frac{9}{-15}\right)t=-\frac{45}{-15}$$

Привести дробь \frac{-9}{-15} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t=-\frac{45}{-15}$$

Разделите -45 на -15.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t=3$$

Деление \frac{3}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=3+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=3+\frac{9}{100}$$

Прибавьте 3 к \frac{9}{100}.

$$t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}=\frac{309}{100}$$

Коэффициент t^{2}+\frac{3}{5}t+\frac{9}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{309}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{309}{100}}$$

Упростите.

$$t+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{309}}{10} t+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{309}}{10}$$

Вычтите \frac{3}{10} из обеих частей уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{309}-3}{10} t=\frac{-\sqrt{309}-3}{10}$$