Решить -12x^2+11x-2=0

$$- 12 x ^ { 2 } + 11 x - 2 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -12x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=-12\left(-2\right)=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=8 b=3$$

Перепишите -12x^{2}+11x-2 как \left(-12x^{2}+8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(-12x^{2}+8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки -4x в -12x^{2}+8x.

$$-4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(-4x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-2=0 и -4x+1=0у.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-12x^{2}+11x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -12 вместо a, 11 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-12\right)\left(-2\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-12\right)\left(-2\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Умножьте -4 на -12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48\left(-2\right)}}{2\left(-12\right)}$$

Умножьте 48 на -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-96}}{2\left(-12\right)}$$

Прибавьте 121 к -96.

$$x=\frac{-11±\sqrt{25}}{2\left(-12\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 25.

$$x=\frac{-11±5}{2\left(-12\right)}$$

Умножьте 2 на -12.

$$x=\frac{-11±5}{-24}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{-24} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 5.

$$x=-\frac{6}{-24}$$

Привести дробь \frac{-6}{-24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{1}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±5}{-24} при условии, что ± — минус. Вычтите 5 из -11.

$$x=-\frac{16}{-24}$$

Привести дробь \frac{-16}{-24} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-12x^{2}+11x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$-12x^{2}+11x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-12x^{2}+11x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$-12x^{2}+11x=2$$

Разделите обе части на -12.

$$\frac{-12x^{2}+11x}{-12}=\frac{2}{-12}$$

Деление на -12 аннулирует операцию умножения на -12.

$$x^{2}+\frac{11}{-12}x=\frac{2}{-12}$$

Разделите 11 на -12.

$$x^{2}-\frac{11}{12}x=\frac{2}{-12}$$

Привести дробь \frac{2}{-12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{12}x=-\frac{1}{6}$$

Деление -\frac{11}{12}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{24}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{24} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{11}{12}x+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{24} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=-\frac{1}{6}+\frac{121}{576}$$

Прибавьте -\frac{1}{6} к \frac{121}{576}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{25}{576}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{24}=\frac{5}{24} x-\frac{11}{24}=-\frac{5}{24}$$

Прибавьте \frac{11}{24} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{1}{4}$$