Решить -10x^2+1300x-30000=12000

$$- 10 x ^ { 2 } + 1300 x - 30000 = 12000$$

Найдите x

$$x=60$$

$$x=70$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-10x^{2}+1300x-30000=12000$$

Вычтите 12000 из обеих частей уравнения.

$$-10x^{2}+1300x-30000-12000=12000-12000$$

Если из 12000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-10x^{2}+1300x-30000-12000=0$$

Вычтите 12000 из -30000.

$$-10x^{2}+1300x-42000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -10 вместо a, 1300 вместо b и -42000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1300±\sqrt{1300^{2}-4\left(-10\right)\left(-42000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Возведите 1300 в квадрат.

$$x=\frac{-1300±\sqrt{1690000-4\left(-10\right)\left(-42000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте -4 на -10.

$$x=\frac{-1300±\sqrt{1690000+40\left(-42000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 40 на -42000.

$$x=\frac{-1300±\sqrt{1690000-1680000}}{2\left(-10\right)}$$

Прибавьте 1690000 к -1680000.

$$x=\frac{-1300±\sqrt{10000}}{2\left(-10\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 10000.

$$x=\frac{-1300±100}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 2 на -10.

$$x=\frac{-1300±100}{-20}$$

Решите уравнение x=\frac{-1300±100}{-20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1300 к 100.

$$x=-\frac{1200}{-20}$$

Разделите -1200 на -20.

$$x=60$$

Решите уравнение x=\frac{-1300±100}{-20} при условии, что ± — минус. Вычтите 100 из -1300.

$$x=-\frac{1400}{-20}$$

Разделите -1400 на -20.

$$x=70$$

Уравнение решено.

$$x=60 x=70$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+1300x-30000=12000$$

Прибавьте 30000 к обеим частям уравнения.

$$-10x^{2}+1300x-30000-\left(-30000\right)=12000-\left(-30000\right)$$

Если из -30000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-10x^{2}+1300x=12000-\left(-30000\right)$$

Вычтите -30000 из 12000.

$$-10x^{2}+1300x=42000$$

Разделите обе части на -10.

$$\frac{-10x^{2}+1300x}{-10}=\frac{42000}{-10}$$

Деление на -10 аннулирует операцию умножения на -10.

$$x^{2}+\frac{1300}{-10}x=\frac{42000}{-10}$$

Разделите 1300 на -10.

$$x^{2}-130x=\frac{42000}{-10}$$

Разделите 42000 на -10.

$$x^{2}-130x=-4200$$

Деление -130, коэффициент x термина, 2 для получения -65. Затем добавьте квадрат -65 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-130x+\left(-65\right)^{2}=-4200+\left(-65\right)^{2}$$

Возведите -65 в квадрат.

$$x^{2}-130x+4225=-4200+4225$$

Прибавьте -4200 к 4225.

$$x^{2}-130x+4225=25$$

Коэффициент x^{2}-130x+4225. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-65\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-65\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x-65=5 x-65=-5$$

Прибавьте 65 к обеим частям уравнения.

$$x=70 x=60$$