Решить -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Найдите y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 10 вместо b и 400 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 100 к 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Решите уравнение y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Разделите -10+10\sqrt{17} на -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Решите уравнение y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{17} из -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Разделите -10-10\sqrt{17} на -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Уравнение решено.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Вычтите 400 из обеих частей уравнения.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Если из 400 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Разделите 10 на -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Разделите -400 на -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Деление -10, коэффициент x термина, 2 для получения -5. Затем добавьте квадрат -5 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Прибавьте 400 к 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Коэффициент y^{2}-10y+25. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Упростите.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$