Решить -x^2-9x-90=0

$$- { x }^{ 2 } -9x-90=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3\sqrt{31}i-9}{2}\approx -4,5-8,351646544i$$

$$x=\frac{-9+3\sqrt{31}i}{2}\approx -4,5+8,351646544i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-9x-90=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -9 вместо b и -90 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -90.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-360}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 81 к -360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-279}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -279.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±3\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±3\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{9±3\sqrt{31}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{9±3\sqrt{31}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к 3i\sqrt{31}.

$$x=\frac{9+3\sqrt{31}i}{-2}$$

Разделите 9+3i\sqrt{31} на -2.

$$x=\frac{-3\sqrt{31}i-9}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{9±3\sqrt{31}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 3i\sqrt{31} из 9.

$$x=\frac{-3\sqrt{31}i+9}{-2}$$

Разделите 9-3i\sqrt{31} на -2.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{31}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{31}i-9}{2} x=\frac{-9+3\sqrt{31}i}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-9x-90=0$$

Прибавьте 90 к обеим частям уравнения.

$$-x^{2}-9x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Если из -90 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}-9x=-\left(-90\right)$$

Вычтите -90 из 0.

$$-x^{2}-9x=90$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-9x}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-1}\right)x=\frac{90}{-1}$$

Разделите -9 на -1.

$$x^{2}+9x=\frac{90}{-1}$$

Разделите 90 на -1.

$$x^{2}+9x=-90$$

Деление 9, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{9}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-90+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-90+\frac{81}{4}$$

Прибавьте -90 к \frac{81}{4}.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=-\frac{279}{4}$$

Коэффициент x^{2}+9x+\frac{81}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{279}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{279}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{3\sqrt{31}i}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{3\sqrt{31}i}{2}$$

Вычтите \frac{9}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{31}i-9}{2}$$