Решить -n^2/12+11n/12=-5

$$- \frac { n ^ { 2 } } { 12 } + \frac { 11 n } { 12 } = - 5$$

Найдите n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Способ разложения на множители путем группировки

Умножьте обе части уравнения на 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Прибавьте 60 к обеим частям.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -n^{2}+an+bn+60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=-60=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=15 b=-4$$

Перепишите -n^{2}+11n+60 как \left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right)$$

Разложите -n в первом и -4 в второй группе.

$$-n\left(n-15\right)-4\left(n-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-15\right)\left(-n-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и -n-4=0у.

$$n=15 n=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Умножьте обе части уравнения на 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Прибавьте 60 к обеим частям.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 11 вместо b и 60 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 60.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 121 к 240.

$$n=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$n=\frac{-11±19}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$n=\frac{-11±19}{-2}$$

Решите уравнение n=\frac{-11±19}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 19.

$$n=\frac{8}{-2}$$

Разделите 8 на -2.

$$n=-4$$

Решите уравнение n=\frac{-11±19}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из -11.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Разделите -30 на -2.

$$n=15$$

Уравнение решено.

$$n=-4 n=15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Умножьте обе части уравнения на 12.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-n^{2}+11n}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$n^{2}+\frac{11}{-1}n=-\frac{60}{-1}$$

Разделите 11 на -1.

$$n^{2}-11n=-\frac{60}{-1}$$

Разделите -60 на -1.

$$n^{2}-11n=60$$

Деление -11, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Прибавьте 60 к \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Коэффициент n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=15 n=-4$$