Решить (76-4x)(10+2x)=1080

$$(76-4x)(10+2x)=1080$$

Найдите x

$$x=4$$

$$x=10$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 76-4x на 10+2x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Вычтите 1080 из обеих частей уравнения.

$$760+112x-8x^{2}-1080=0$$

Вычтите 1080 из 760, чтобы получить -320.

$$-320+112x-8x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-8x^{2}+112x-320=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -8 вместо a, 112 вместо b и -320 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-112±\sqrt{112^{2}-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Возведите 112 в квадрат.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-4\left(-8\right)\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножьте -4 на -8.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544+32\left(-320\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Умножьте 32 на -320.

$$x=\frac{-112±\sqrt{12544-10240}}{2\left(-8\right)}$$

Прибавьте 12544 к -10240.

$$x=\frac{-112±\sqrt{2304}}{2\left(-8\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 2304.

$$x=\frac{-112±48}{2\left(-8\right)}$$

Умножьте 2 на -8.

$$x=\frac{-112±48}{-16}$$

Решите уравнение x=\frac{-112±48}{-16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -112 к 48.

$$x=-\frac{64}{-16}$$

Разделите -64 на -16.

$$x=4$$

Решите уравнение x=\frac{-112±48}{-16} при условии, что ± — минус. Вычтите 48 из -112.

$$x=-\frac{160}{-16}$$

Разделите -160 на -16.

$$x=10$$

Уравнение решено.

$$x=4 x=10$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 76-4x на 10+2x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$760+112x-8x^{2}=1080$$

Вычтите 760 из обеих частей уравнения.

$$112x-8x^{2}=1080-760$$

Вычтите 760 из 1080, чтобы получить 320.

$$112x-8x^{2}=320$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+112x=320$$

Разделите обе части на -8.

$$\frac{-8x^{2}+112x}{-8}=\frac{320}{-8}$$

Деление на -8 аннулирует операцию умножения на -8.

$$x^{2}+\frac{112}{-8}x=\frac{320}{-8}$$

Разделите 112 на -8.

$$x^{2}-14x=\frac{320}{-8}$$

Разделите 320 на -8.

$$x^{2}-14x=-40$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Прибавьте -40 к 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Коэффициент x^{2}-14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$x=10 x=4$$