Решить (20+x)(100-x)=2375

$$(20+x)(100-x)=2375$$

Найдите x

$$x=5$$

$$x=75$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 20+x на 100-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Вычтите 2375 из обеих частей уравнения.

$$2000+80x-x^{2}-2375=0$$

Вычтите 2375 из 2000, чтобы получить -375.

$$-375+80x-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+80x-375=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 80 вместо b и -375 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 80 в квадрат.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\left(-1\right)\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400+4\left(-375\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -375.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-1500}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 6400 к -1500.

$$x=\frac{-80±\sqrt{4900}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 4900.

$$x=\frac{-80±70}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-80±70}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-80±70}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -80 к 70.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Разделите -10 на -2.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{-80±70}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 70 из -80.

$$x=-\frac{150}{-2}$$

Разделите -150 на -2.

$$x=75$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=75$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 20+x на 100-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$2000+80x-x^{2}=2375$$

Вычтите 2000 из обеих частей уравнения.

$$80x-x^{2}=2375-2000$$

Вычтите 2000 из 2375, чтобы получить 375.

$$80x-x^{2}=375$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+80x=375$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+80x}{-1}=\frac{375}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{80}{-1}x=\frac{375}{-1}$$

Разделите 80 на -1.

$$x^{2}-80x=\frac{375}{-1}$$

Разделите 375 на -1.

$$x^{2}-80x=-375$$

Деление -80, коэффициент x термина, 2 для получения -40. Затем добавьте квадрат -40 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-80x+\left(-40\right)^{2}=-375+\left(-40\right)^{2}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x^{2}-80x+1600=-375+1600$$

Прибавьте -375 к 1600.

$$x^{2}-80x+1600=1225$$

Коэффициент x^{2}-80x+1600. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-40\right)^{2}=1225$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-40\right)^{2}}=\sqrt{1225}$$

Упростите.

$$x-40=35 x-40=-35$$

Прибавьте 40 к обеим частям уравнения.

$$x=75 x=5$$