Решить (16-2x)(9-x)=112

$$(16-2x)(9-x)=112$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=16$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 16-2x на 9-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Вычтите 112 из обеих частей уравнения.

$$144-34x+2x^{2}-112=0$$

Вычтите 112 из 144, чтобы получить 32.

$$32-34x+2x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}-34x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, -34 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Возведите -34 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 32}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 32.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-256}}{2\times 2}$$

Прибавьте 1156 к -256.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{900}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из 900.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±30}{2\times 2}$$

Число, противоположное -34, равно 34.

$$x=\frac{34±30}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{34±30}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{34±30}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 34 к 30.

$$x=\frac{64}{4}$$

Разделите 64 на 4.

$$x=16$$

Решите уравнение x=\frac{34±30}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 30 из 34.

$$x=\frac{4}{4}$$

Разделите 4 на 4.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=16 x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 16-2x на 9-x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Вычтите 144 из обеих частей уравнения.

$$-34x+2x^{2}=112-144$$

Вычтите 144 из 112, чтобы получить -32.

$$-34x+2x^{2}=-32$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-32$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{32}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{32}{2}$$

Разделите -34 на 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{32}{2}$$

Разделите -32 на 2.

$$x^{2}-17x=-16$$

Деление -17, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{17}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{17}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{17}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-16+\frac{289}{4}$$

Прибавьте -16 к \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{225}{4}$$

Коэффициент x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{15}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{15}{2}$$

Прибавьте \frac{17}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=16 x=1$$