Решить (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Найдите y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Вычтите 2y^{2} из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Объедините y^{2} и -2y^{2}, чтобы получить -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Прибавьте 11y к обеим частям.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Объедините -8y и 11y, чтобы получить 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Прибавьте 12 к обеим частям.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Чтобы вычислить 28, сложите 16 и 12.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -y^{2}+ay+by+28. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=7 b=-4$$

Перепишите -y^{2}+3y+28 как \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Разложите -y в первом и -4 в второй группе.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите y-7=0 и -y-4=0у.

$$y=7 y=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Вычтите 2y^{2} из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Объедините y^{2} и -2y^{2}, чтобы получить -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Прибавьте 11y к обеим частям.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Объедините -8y и 11y, чтобы получить 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Прибавьте 12 к обеим частям.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

Чтобы вычислить 28, сложите 16 и 12.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 3 вместо b и 28 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Решите уравнение y=\frac{-3±11}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Разделите 8 на -2.

$$y=-4$$

Решите уравнение y=\frac{-3±11}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Разделите -14 на -2.

$$y=7$$

Уравнение решено.

$$y=-4 y=7$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Вычтите 2y^{2} из обеих частей уравнения.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Объедините y^{2} и -2y^{2}, чтобы получить -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Прибавьте 11y к обеим частям.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Объедините -8y и 11y, чтобы получить 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Вычтите 16 из обеих частей уравнения.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Вычтите 16 из -12, чтобы получить -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Разделите 3 на -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Разделите -28 на -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Деление -3, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 28 к \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент y^{2}-3y+\frac{9}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$y=7 y=-4$$