Решить (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Найдите d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Действия по решению линейного уравнения

Умножьте обе стороны уравнения на 12, наименьшее общее кратное чисел 3,2,4.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 2 равно 6. Умножьте \frac{y^{3}}{3} на \frac{2}{2}. Умножьте \frac{x^{2}}{2} на \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Поскольку числа \frac{2y^{3}}{6} и \frac{3x^{2}}{6} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию сложения с помощью числителей.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 12 на y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Сократите наибольший общий делитель 6 в 12 и 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 2 на 2y^{3}+3x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 12y+4y^{3}+6x^{2} на d, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d на x, используйте свойство дистрибутивности.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 3 на x+xy^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Чтобы умножить 3x+3xy^{2} на d, используйте свойство дистрибутивности.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Чтобы умножить 3xd+3xy^{2}d на y, используйте свойство дистрибутивности.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Объедините 12ydx и 3xdy, чтобы получить 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Объедините 4y^{3}dx и 3xdy^{3}, чтобы получить 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Объедините все члены, содержащие d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Разделите 0 на 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Найдите x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$