Решить (x-40)(500-10x)=8000

$$( x - 40 ) ( 500 - 10 x ) = 8000$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=45+5\sqrt{31}i\approx 45+27,838821814i$$

$$x=-5\sqrt{31}i+45\approx 45-27,838821814i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить x-40 на 500-10x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Вычтите 8000 из обеих частей уравнения.

$$900x-10x^{2}-20000-8000=0$$

Вычтите 8000 из -20000, чтобы получить -28000.

$$900x-10x^{2}-28000=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-10x^{2}+900x-28000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -10 вместо a, 900 вместо b и -28000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-900±\sqrt{900^{2}-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Возведите 900 в квадрат.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте -4 на -10.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000+40\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 40 на -28000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-1120000}}{2\left(-10\right)}$$

Прибавьте 810000 к -1120000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{-310000}}{2\left(-10\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -310000.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{2\left(-10\right)}$$

Умножьте 2 на -10.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}$$

Решите уравнение x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -900 к 100i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-900+100\sqrt{31}i}{-20}$$

Разделите -900+100i\sqrt{31} на -20.

$$x=-5\sqrt{31}i+45$$

Решите уравнение x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20} при условии, что ± — минус. Вычтите 100i\sqrt{31} из -900.

$$x=\frac{-100\sqrt{31}i-900}{-20}$$

Разделите -900-100i\sqrt{31} на -20.

$$x=45+5\sqrt{31}i$$

Уравнение решено.

$$x=-5\sqrt{31}i+45 x=45+5\sqrt{31}i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить x-40 на 500-10x, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Прибавьте 20000 к обеим частям.

$$900x-10x^{2}=8000+20000$$

Чтобы вычислить 28000, сложите 8000 и 20000.

$$900x-10x^{2}=28000$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+900x=28000$$

Разделите обе части на -10.

$$\frac{-10x^{2}+900x}{-10}=\frac{28000}{-10}$$

Деление на -10 аннулирует операцию умножения на -10.

$$x^{2}+\frac{900}{-10}x=\frac{28000}{-10}$$

Разделите 900 на -10.

$$x^{2}-90x=\frac{28000}{-10}$$

Разделите 28000 на -10.

$$x^{2}-90x=-2800$$

Деление -90, коэффициент x термина, 2 для получения -45. Затем добавьте квадрат -45 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-2800+\left(-45\right)^{2}$$

Возведите -45 в квадрат.

$$x^{2}-90x+2025=-2800+2025$$

Прибавьте -2800 к 2025.

$$x^{2}-90x+2025=-775$$

Коэффициент x^{2}-90x+2025. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=-775$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{-775}$$

Упростите.

$$x-45=5\sqrt{31}i x-45=-5\sqrt{31}i$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$x=45+5\sqrt{31}i x=-5\sqrt{31}i+45$$